Question

求f(x)=(sinx+a)(cosx+a) a∈(0,√2]的值域，高一的方法，请将所需公式讲一

求f(x)=(sinx+a)(cosx+a) a∈(0,√2]的值域，高一的方法，请将所需公式讲一下。

Answer 1

你好：
设sinx+cosx=t，则t=sinx+cosx=√2[(√2/2)sinx+(√2/2)cosx]=√2sin(x+π/4)
∴t∈[-√2，√2]
∵t²=(sinx+cosx)²=sin²x+cos²x+2sinxcosx=1+2sinxcosx
∴sinxcosx=(t²-1)/2则
y=(sinx+a)(cosx+a)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a²=(t²-1)/2+at+a²
=(1/2)(t+a)²+(a²-1)/2
对称轴为t= -a
∵-√2≤t≤√2，-√2≤ -a＜0
∴当t= -a时，y取最小值(a²-1)/2
当t=√2时，y取最大值a²+√2a+ (1/2)
y属于{(a²-1)/2，a²+√2a+ (1/2)}
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