Question

设向量a=(4cosa,sina),b=(sinB,4cosB),c=(cosB,-4sinB)

(1)若a向量与b向量-2c向量垂直，求tan(A+B)
(2)求b向量+c向量绝对值的最大值
（3）若tanAtanB=16,求证a向量平行b向量

Answer 1

(1)
a=(4cosa,sina),
b-2c=(sinB-2cosB,4cosB+8sinB)
若向量垂直，对应分量相乘积的和等于0
故(4cosa)(sinB-2cosB)+(sina)(4cosB+8sinB)=0
整理得，cosAsinB+sinAcosB-2cosAcosB+sinAcosB+2sinAsinB=0
sin(A+B)-2cos(A+B)=0
tan(A+B)=2
(2)
|b+c|=|(sinB+cosB,4(cosB-sinB))|=(sinB+cosB)的平方+4(cosB-sinB)的平方再全部开根号=1+2sinBcosB+16(1-2sinBcosB)再开根号=17-15sin2B<=32
(3)
tanAtanB=16 所以(sinA/cosA)(sinB/cosB)=16
sinAsinB=16cosAcosB
4cosA/sinB=sinA/4cosB
所以a b平行

终于打完了，累死我了

Answer 2

(1)向量a=（4cosa,sina）,b-2c=(sinβ-2cosβ,4cosβ+8cosβ)
因为a与b-2c垂直，则a(b-2c)=0
所以4cosa（sinβ-2cosβ）+sina（4cosβ+8cosβ）=0
整理得4(sinacosβ+cosasinβ)-8(cosacosβ-sinasinβ)=0
即4sin(a+β)-8cos(a+β)=0得tan(a+β)=2
（2）向量b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ)
|b+c|=√(sinβ+cosβ)²+(4cosβ-4sinβ)²=√17-30sinβcosβ=√17-15sin2β
所以|b+c|的最大值为√17+15=√32=4√2
（3）由tanatanβ=16，得sinasinβ=16cosacosβ
即sinasinβ-4cosa4cosβ=0
所以a//b