Question

（2013?枣阳市模拟）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC2=PE?PO（1）求证

（2013?枣阳市模拟）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC2=PE?PO（1）求证：PC是⊙O的切线．（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下，求sin∠PCA的值．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵PC²=PE?PO，
∴

PC

PE

=

PO

PC

，
∵∠P=∠P，
∴△PCO∽△PEC，
∴∠PCO=∠PEC，
∵CD⊥AB，
∴∠PEC=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：设OE=x，
∵OE：EA=1：2，
∴AE=2x，
∵PC²=PA?PB，
∴PA?PB=PE?PO，
∵PA=6，
∴（6+2x）（6+3x）=6（6+6x），
解得，x=1，
∴OA=3x=3，
∴⊙O的半径为3．

（3）解：连接BC，
∵PC²=PA?PB，
∴PC=6

2

，
∴CE=

PC2?PE2

=

72?64

=2

2

，
∴BC=

CE2+BE2

=

8+16

=2

6

，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCA=∠B，
∴sin∠PCA=sin∠B=

Answer 2

最后的代入计算留给你咯！！加油吧少年！！！

Answer 3

如图所示：

圆半径=3.00

Answer 4

解答如下图片

Answer 5

(1) 连OC
在三角形PCE和POC中
PC²=PE*PO 即：PC/PO=PE/PC <P公共
得: 三角形PCE相似于POC(SAS)
<PCO=<PEC=90度, PC为圆切线.
(2) OC=r OE=r/3 OP=6+r
三角形COE 相似于POC (AAA)
OC/OP=OE/OC 得 r²=(6+r)*r/3
r=0(舍去) r=3.
(3) 过A作AF垂直CP交CP于F
有 三角形CAE 全等于于CAF (ASA) (<PCA=<POC/2=<ACD)
AF=AE=2 CE²=OC²-OE²=9-1=8
AC=√(AE²+CE²)=√(4+8)=√12=2√3
所以: sin∠PCA=AF/AC=2/2√3=√3/3