Question

已知函数f（x）=3-2log2x，g（x）=log2x．（1）如果x∈[1，4]，求函数h（x）=（f（x）+1）g（x）的值域；

已知函数f（x）=3-2log2x，g（x）=log2x．（1）如果x∈[1，4]，求函数h（x）=（f（x）+1）g（x）的值域；（2）求函数M(x)＝f(x)+g(x)?|f(x)?g(x)|2的最大值；（3）如果对不等式f(x2)f(x)＞kg(x)中的任意x∈[1，4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

令t=log₂x
（1）h（x）=（4-2log₂x）?log₂x=-2（t-1）²+2，x∈[1，4]，
∴t∈[0，2]
∴h（x）的值域为[0，2]
（2）∵M(x)＝

g(x)  f(x)≥g(x) f(x)   f(x)＜g(x)

设f（x）与g（x）中较小的值为M
①t≥M，②3-2t≥M
①×2+②得3M≤3，M≤1
当t=1，x=2时，M=1∴M（x）max=1
（3）由f(x2)f(

x

)＞kg(x)得：（3-4log₂x）（3-log₂x）＞klog₂x
∵x∈[1，4]∴t∈[0，2]
∴（3-4t）（3-t）＞kt对于一切t∈[0，2]恒成立
①当t=0时，k∈R
②t∈（0，2）时，k＜

(3?4t)(3?t)

t

恒成立，即k＜4t+

9

t

?15
∵4t+

9

t

≥12，当且仅当4t=

9

t

即t=

3

2

时取等号
∴4t+

9

t

?15的最小值为-3，综上：k＜-3