Question

如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC．

如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC．问：当点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？

Answer 1

设∠AOB=α，（1分）
在△AOB中，由余弦定理得
AB²=OA²+OB²-2×OA×OBcos∠AOB
=1²+2²-2×1×2×cosα
=5-4cosα，．（4分）
于是，四边形OACB的面积为
S=S_△AOB+S_△ABC=

1

2

OA?OBsinα+

3

4

AB² （6分）
=

1

2

×2×1×sinα+

3

4

（5-4cosα）
=sinα-

3

cosα+

5 3

4

=2sin（x-

π

3

）+

5 3

4

．（10分）
因为0＜α＜π，所以当α-

π

3

=

π

2

，α=

5π

6

，
即∠AOB=

5π

6

时，四边形OACB面积最大．（12分）