Question

请问 用函数奇偶性计算积分∫（上限是1/2 下限是负的1/2）xarcsinx/√1-x^2dx

Answer 1

　　由于(cosx)^2为偶函数，因此
[-π/2,π/2] ∫2(cosx)^2dx
= 2* [0,π/2]∫2(cosx)^2dx
= 2* [0,π/2]∫(1+cos2x)dx /** 2倍角公式
=2* (x+1/2*sinx2x) |[0,π/2]
= π
　　奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上是减函数（增函数）。但由单调性不能倒推其奇偶性。验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。