Question

一个三棱锥S-ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，

且长度分别1、√6、3 已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这
个球的表面积为
写出详细过程

Answer 1

换一个角度看这个图形
三条棱互相垂直的话，可以视此三棱锥是一个正方体的一部分，且三条棱长分别为1、√6、3。那么整个正方体就已知。
这个正方体由于对称性，所有的八个顶点都在球面上，且球的直径就是正方体的对角线，
即D=L=√(a^2+b^2+c^2)=√(1+6+9)=4
接下来半径R=D/2=2
代入公式
S=4πr^2=4*3.14*2*2=50.24

Answer 2

球的直径就是正方体的对角线!或者你也可以这样考虑:
设球心为O，O到面SAB的距离为SC/2(S、C在球面上，所以O在SC上的投影为SC的中点),O到面SAC的距离为SB/2,O到面SBC的距离为SA/2(即把SABCO补成一个正六面体),所以OS=√(SA/2)^2+(SB/2)^2+(SC/2)^2=2,即球半径为2。
补充:
啊，我明白你的疑问了。不要把它补成正方体，补成长方体就好了。任意长方体八顶点都在同一个球面上，并且对角线就是球的直径。
以本题为例简单证明一下:首先，有一个事实是，任意直角三角形补成长方形后，四点共圆。
设SABC决定了唯一一个球,然后，我们先把SAB补成长方形SABD，则四点共圆，所以D也在此球上，再把SAC,SBC补成长方形SACE.SBCF，则E,F也在球上，再把CEF补成长方形CEFG，则G也在球上，这样，就把SABC补成了长方体SADB-CEGF，并且顶点都在球上。由对称性可知，球心到上、下面(同理，左右面和前后面)的距离相等，所以球心在长方体的中心，即四条对角线的交点。