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1
证明：
对于任意的ε>0.，存在N(ε)=[π/2ε],
使得当n>N(ε)时，
|arctann/n-0|<=π/2n<π/2N(ε)<ε
所以原极限=0
2
(a)
√n[√(n+α)-√n]
=√n[√(n+α)-√n][√(n+α)+√n] / [√(n+α)+√n]
=α√n / [√(n+α)+√n]
所以，原极限=α/2
(b)
设x=1/n
原极限=lim(n->∞) [α^(1/n)-1]/(1/n)
=lim(x->0) [α^x-1] / x
=lim(x->0) α^xlnα
=lnα
证明：
对于任意的ε>0.，存在N(ε)=[π/2ε],
使得当n>N(ε)时，
|arctann/n-0|<=π/2n<π/2N(ε)<ε
所以原极限=0
2
(a)
√n[√(n+α)-√n]
=√n[√(n+α)-√n][√(n+α)+√n] / [√(n+α)+√n]
=α√n / [√(n+α)+√n]
所以，原极限=α/2
(b)
设x=1/n
原极限=lim(n->∞) [α^(1/n)-1]/(1/n)
=lim(x->0) [α^x-1] / x
=lim(x->0) α^xlnα
=lnα
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