Question

答案里β2-β1，β3-β1是AX=0的两个线性无关解是根据哪个性质看出来的？为什么只写两个不加上β3-β2？

求详解！这道题答案中β2-β1，β3-β1是AX=0的两个线性无关解是根据哪个性质看出来的？为什么只写两个不加上β3-β2？

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Answer 1

首先，带入
β2-β1，β3-β1
A(β2-β1)=Aβ2-Aβ1=b-b=0，
A(β3-β1)=Aβ3-Aβ1=b-b=0，
显然是 AX=0的解，
其次，这个两个变量是线性无关的。k1(β2-β1)+k2(β3-β1)=0
则-（k1+k2)β1+k2β2+k2β3=0
β1,β2,β3线性无关，那么k1,k2=0
所以，β2-β1，β3-β1 线性无关，
所以他是AX=0的两个线性无关解。
至于β3-β2，加上后
β2-β1，β3-β1，β3-β2
就线性相关了，k1=1,k2=-1,k3=1,使得
k1(β2-β1)+k2(β3-β1)+k3(β3-β2)=0

追问

请问我做题的时候怎么直接看出解是β2-β1、β3-β1而且只有这两个解，有什么技巧吗？

追答

如果x1,x2,x3是ax=b的解吗，那么必然有
x2-x1,x3-x1,x3-x2均为ax=0的解