已知sina-cosb=3cosa-3sinb，sin(a+b)≠1，则sin(a-b)=？ 20
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0. 必备基础（要点）
1) 任意角、弧度制、任意角三角函数定义。
2) 同角三角函数基本关系式、诱导公式以及和角、差角、半角、倍角、辅助角的有关公式。
3) 三角函数图像、图像变换及其性质。
4) 三角恒等变换问题的求解一般方法与技巧。
1. 基本问题说明
一般地，三角函数求值问题包括：
① 已知角度值，求其三角函数值。
② 已知三角函数式以及可能的约束条件，求某三角函数值、或证明三角函数值等于常数等。
③ 与三角形结合，已知某些关系式以及可能的约束条件，求某三角函数的值。
④ 已知由三角函数组成的代数式或函数解析式，求其值域、最值等。
2. 解决问题的一般解法
如图。除少数比较简单的题目可直接求解外，多数三角函数求值问题一般可通过上图的两大步求解。
1) 已知角度值，求其三角函数值（知角求值）
一般利用三角函数诱导公式、三角恒等式等，通过三角恒等变换，先化简等式，再求解。一般不能查表，所以其要领有：
① 适用时，将非特殊角三角函数要化为特殊角三角函数；
② 适用时，将非特殊角三角函数消去。
提示：求解这类问题的关键（考查重点）在于观察、识别甚至构造角度间的关系，包括角度和、角度差、互补、互余、分拆、组合等方法与技巧。
2) 已知某些角的三角函数值，求或证明其它角的三角函数值（知值求值）
① 一般利用“三角恒等变换”方法，分别或同时将已知、待求三角函数式进行转化，使它们之间建立直接联系。大致可分为角运算型和值运算型两类。
② 角运算型：关键是已知角与待求角之间的转化（详见三角恒等变换的基本技能部分）。
③ 值运算型：关键是已知和待求三角函数之间的转化（详见三角恒等变换的基本技能部分）。
提示：求解这类问题的关键（考查重点）在于角的有关约束的处理，比如正确地确定角的所在象限或位置——无法确定时还要分类讨论；若角度是三角形的内角度，要留意角度的（显式或隐式的）约束及其可能范围。
3) 已知由三角函数组成的代数式或函数解析式，求其值域或最值（实质上也是求值）。其求解一般方法为：
① 先确定角度（即定义域）的范围及有关约束条件；
② 利用三角恒等变换方法与技巧整理、简化或变换已知式；
③ 分析并求解值域或最值。
提示1：三角函数求值问题也能以参数问题的方式出现，如已知三角函数值、值域或最值，反过来求某参数值或范围。解题一般方法类似，只是最后一步反过来求值（类似方程）。
提示2：若代数式或函数解析式为超越函数、或者可利用换元法变成不含三角函数的式子的题型，严格来说并不属于三角函数求值问题（即三角函数并非这类综合应用问题的主干），因而将在其它模块中讲述。
3. 典型例题
例1 计算tan12＋tan18＋√3/3tan12tan18。
解：原式 = tan(12＋18)(1 - tan12tan18) + √3/3tan12tan18
= √3/3(1 - tan12tan18) + √3/3tan12tan18
= √3/3。
讲解：
① 给角求值时，关键是观察已知的特征，据此选择合适变换路径——角度变换或三角函数变换。
本题中，可观察到12＋18=30，且第一、二项与第三项之间可通过正切和角公式联系起来，由此可确定求解思路。
例2若sinα-2cosα=0，α∈(π，π/2)。
(1) 求sin(π/4+α)；
(2) 求tan(π/4+α)。
解：依题意，sinα= 2cosα，
又(sinα)^2 + (cosα)^2 = 1,
所以可得：(sinα)^2 = 4/5。
又α∈(π,3π/2)，
讲解：
① 本题虽然不算难，但很好地示例了知值求值的一种题型——可通过已知三角函数等式或值，求出与待解问题有关的角度值后，再求解问题。
② 很多时候，知值求值问题中无法求解角度的具体值，此时需要把待求角和已知角或它们的三角函数关联起来，一般方法为：
a)若已知角只有一个时，待求角可能与已知角是倍数、半数、互补、互余、和差关系；
b) 若已知两个角时，待求角可能与已知角有和与差的关系；
c) 若已知角或待求角是复杂的复合角形式时，一般需要先三角恒等变换，才能把已知条件和待求问题联系起来。
③ 本题已知为sinα-2cosα=0，所以求解简单。更一般地，已知sinα±cosα=e（e≠0）时，可利用平方法，再结合(sinα)^2 + (cosα)^2 = 1进行求解。
例3 在△ABC,已知cosA=5/13,cosB=4/5,则cosC的值为___。
解：依题意，可得：sinA=12/13，sinB = 3/5。
cosC = cos[π-(A+B)] = -cos(A+B)
= -cosAcosB + sinAsinB
= -5/13×4/5 + 12/13×3/5
= 16/65。
讲解：
① 在三角形下求三角函数值（求角度值也类似）时，要注意：
a) 隐式条件：三角形内角和为π。
b) sin值对应的可能是锐角也可能是钝角，具体要依据题目条件取舍（本题未涉及这点）。
例4 已知0＜α＜π/2＜β＜π,cosα=3/5,sin(α+β)=-3/5,则cosβ=___。
解：依题意，0＜α＜π/2＜β＜π、cosα=3/5，
∴sinα=√[1-(cosα)^2] =√[1-(3/5)^2] = 4/5，
又因sin(α+β)=-3/5，
∴π＜α+β＜3π/2，
∴cos(α+β) = -√[1-(sin(α+β))^2]
= -√[1-(-3/5)^2] = -4/5，
∴cosβ= cos[(α+β)-α]
= cos(α+β)cosα+ sin(α+β)sinα
= (-4/5)*(3/5)+(-3/5)*(4/5)
= -24/25。
例5求函数y=sin^2x+√3sinxcosx-1的最大值与最小值。
解：依题意，
y = sin^2x+√3sinxcosx-1 = (1-cos2x)/2+(√3/2)sin2x-1
= sin2xcos(π/6)-sin(π/6)cos2x-1/2
= sin(2x-π/6)-1/2。
（提示：恒等变换得到由一个新的三角函数表示的函数式）
∴在sin(2x-π/6)=1时取得最大值 = 1-1/2 = 1/2，
∴在sin(2x-π/6)=-1时取得最小值 = -1-1/2 = -3/2。
讲解：
① 本题为三角函数最值题型（属知值求值类），示例了这类题型的一般解法。
② “二倍角与辅助角”组合是高考中常考的方法与技巧。
③ 如本题改为“已知函数y=sin^2x+√3sinxcosx-m，最大值为3/2,求参数m的值”，则是一个参数问题，其解题思路大同小异。
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1) 任意角、弧度制、任意角三角函数定义。
2) 同角三角函数基本关系式、诱导公式以及和角、差角、半角、倍角、辅助角的有关公式。
3) 三角函数图像、图像变换及其性质。
4) 三角恒等变换问题的求解一般方法与技巧。
1. 基本问题说明
一般地，三角函数求值问题包括：
① 已知角度值，求其三角函数值。
② 已知三角函数式以及可能的约束条件，求某三角函数值、或证明三角函数值等于常数等。
③ 与三角形结合，已知某些关系式以及可能的约束条件，求某三角函数的值。
④ 已知由三角函数组成的代数式或函数解析式，求其值域、最值等。
2. 解决问题的一般解法
如图。除少数比较简单的题目可直接求解外，多数三角函数求值问题一般可通过上图的两大步求解。
1) 已知角度值，求其三角函数值（知角求值）
一般利用三角函数诱导公式、三角恒等式等，通过三角恒等变换，先化简等式，再求解。一般不能查表，所以其要领有：
① 适用时，将非特殊角三角函数要化为特殊角三角函数；
② 适用时，将非特殊角三角函数消去。
提示：求解这类问题的关键（考查重点）在于观察、识别甚至构造角度间的关系，包括角度和、角度差、互补、互余、分拆、组合等方法与技巧。
2) 已知某些角的三角函数值，求或证明其它角的三角函数值（知值求值）
① 一般利用“三角恒等变换”方法，分别或同时将已知、待求三角函数式进行转化，使它们之间建立直接联系。大致可分为角运算型和值运算型两类。
② 角运算型：关键是已知角与待求角之间的转化（详见三角恒等变换的基本技能部分）。
③ 值运算型：关键是已知和待求三角函数之间的转化（详见三角恒等变换的基本技能部分）。
提示：求解这类问题的关键（考查重点）在于角的有关约束的处理，比如正确地确定角的所在象限或位置——无法确定时还要分类讨论；若角度是三角形的内角度，要留意角度的（显式或隐式的）约束及其可能范围。
3) 已知由三角函数组成的代数式或函数解析式，求其值域或最值（实质上也是求值）。其求解一般方法为：
① 先确定角度（即定义域）的范围及有关约束条件；
② 利用三角恒等变换方法与技巧整理、简化或变换已知式；
③ 分析并求解值域或最值。
提示1：三角函数求值问题也能以参数问题的方式出现，如已知三角函数值、值域或最值，反过来求某参数值或范围。解题一般方法类似，只是最后一步反过来求值（类似方程）。
提示2：若代数式或函数解析式为超越函数、或者可利用换元法变成不含三角函数的式子的题型，严格来说并不属于三角函数求值问题（即三角函数并非这类综合应用问题的主干），因而将在其它模块中讲述。
3. 典型例题
例1 计算tan12＋tan18＋√3/3tan12tan18。
解：原式 = tan(12＋18)(1 - tan12tan18) + √3/3tan12tan18
= √3/3(1 - tan12tan18) + √3/3tan12tan18
= √3/3。
讲解：
① 给角求值时，关键是观察已知的特征，据此选择合适变换路径——角度变换或三角函数变换。
本题中，可观察到12＋18=30，且第一、二项与第三项之间可通过正切和角公式联系起来，由此可确定求解思路。
例2若sinα-2cosα=0，α∈(π，π/2)。
(1) 求sin(π/4+α)；
(2) 求tan(π/4+α)。
解：依题意，sinα= 2cosα，
又(sinα)^2 + (cosα)^2 = 1,
所以可得：(sinα)^2 = 4/5。
又α∈(π,3π/2)，
讲解：
① 本题虽然不算难，但很好地示例了知值求值的一种题型——可通过已知三角函数等式或值，求出与待解问题有关的角度值后，再求解问题。
② 很多时候，知值求值问题中无法求解角度的具体值，此时需要把待求角和已知角或它们的三角函数关联起来，一般方法为：
a)若已知角只有一个时，待求角可能与已知角是倍数、半数、互补、互余、和差关系；
b) 若已知两个角时，待求角可能与已知角有和与差的关系；
c) 若已知角或待求角是复杂的复合角形式时，一般需要先三角恒等变换，才能把已知条件和待求问题联系起来。
③ 本题已知为sinα-2cosα=0，所以求解简单。更一般地，已知sinα±cosα=e（e≠0）时，可利用平方法，再结合(sinα)^2 + (cosα)^2 = 1进行求解。
例3 在△ABC,已知cosA=5/13,cosB=4/5,则cosC的值为___。
解：依题意，可得：sinA=12/13，sinB = 3/5。
cosC = cos[π-(A+B)] = -cos(A+B)
= -cosAcosB + sinAsinB
= -5/13×4/5 + 12/13×3/5
= 16/65。
讲解：
① 在三角形下求三角函数值（求角度值也类似）时，要注意：
a) 隐式条件：三角形内角和为π。
b) sin值对应的可能是锐角也可能是钝角，具体要依据题目条件取舍（本题未涉及这点）。
例4 已知0＜α＜π/2＜β＜π,cosα=3/5,sin(α+β)=-3/5,则cosβ=___。
解：依题意，0＜α＜π/2＜β＜π、cosα=3/5，
∴sinα=√[1-(cosα)^2] =√[1-(3/5)^2] = 4/5，
又因sin(α+β)=-3/5，
∴π＜α+β＜3π/2，
∴cos(α+β) = -√[1-(sin(α+β))^2]
= -√[1-(-3/5)^2] = -4/5，
∴cosβ= cos[(α+β)-α]
= cos(α+β)cosα+ sin(α+β)sinα
= (-4/5)*(3/5)+(-3/5)*(4/5)
= -24/25。
例5求函数y=sin^2x+√3sinxcosx-1的最大值与最小值。
解：依题意，
y = sin^2x+√3sinxcosx-1 = (1-cos2x)/2+(√3/2)sin2x-1
= sin2xcos(π/6)-sin(π/6)cos2x-1/2
= sin(2x-π/6)-1/2。
（提示：恒等变换得到由一个新的三角函数表示的函数式）
∴在sin(2x-π/6)=1时取得最大值 = 1-1/2 = 1/2，
∴在sin(2x-π/6)=-1时取得最小值 = -1-1/2 = -3/2。
讲解：
① 本题为三角函数最值题型（属知值求值类），示例了这类题型的一般解法。
② “二倍角与辅助角”组合是高考中常考的方法与技巧。
③ 如本题改为“已知函数y=sin^2x+√3sinxcosx-m，最大值为3/2,求参数m的值”，则是一个参数问题，其解题思路大同小异。
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