Question

一阶连续偏导数与一阶偏导数连续的问题！高手给指点下~O(∩_∩)O谢谢

一阶连续偏导数与一阶偏导数连续的区别，两者一样吗？一阶连续偏导数存在的条件是什么？是不就是偏导数的定义？
在格林公式中判断一阶连续偏导数的方法是什么？！
一阶偏导数连续能否说明其存在二阶偏导数？
谢谢！

Answer 1

一阶连续偏导数和一阶偏导数连续是不一样的。 连续偏导数在定义域范围内是连续的，也即没有间断点，函数f(x,y)处处可微，但它的偏导数却不是连续函数。

在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。

在 xOy 平面内，当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时，函数 f(x,y) 的变化快慢一般来说是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。

在这里我们只学习函数 f(x,y) 沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时， f(x,y) 的变化率。

当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。

此时，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。

按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。

Answer 2

一阶连续偏导数和一阶偏导数连续是不一样的。
一阶连续偏导数是指某个特定的偏导数存在并连续，并且描述的对象是这个偏导数；一阶偏导数连续是指每个偏导数都存在并且连续，描述的对象是偏导数的性质。
可微分->偏导数存在
可微分->连续
偏导数存在(比如x、y方向可偏导）->x、y方向函数连续，其他方向不一定
一阶偏导数连续不能说明其存在二阶偏导数，正如函数连续不能说明一阶偏导数存在
曲线积分条件：分段光滑。
光滑：有切线
请参考两类曲线积分的计算过程，思考为什么是光滑，而不是可导。
分段：（有限多段）
请比教一元积分（含广义积分）条件：有限个间断点，且分段可积，请思考为什么是有限个。

Answer 3

一阶连续偏导数和一阶偏导数连续是不一样的。
一阶连续偏导数是指某个特定的偏导数存在并连续，并且描述的对象是这个偏导数；一阶偏导数连续是指每个偏导数都存在并且连续，描述的对象是偏导数的性质。
可微分->偏导数存在
可微分->连续
偏导数存在(比如x、y方向可偏导）->x、y方向函数连续，其他方向不一定
一阶偏导数连续不能说明其存在二阶偏导数，正如函数连续不能说明一阶偏导数存在
曲线积分条件：分段光滑。
光滑：有切线
请参考两类曲线积分的计算过程，思考为什么是光滑，而不是可导。
分段：（有限多段）

Answer 4

一阶连续偏导数和一阶偏导数连续是不一样的。

连续偏导数在定义域范围内是连续的，也即没有间断点
函数f(x,y)处处可微，但它的偏导数却不是连续函数。
f(x,y)的表达式如下：
当xy≠0时，(x^2)*sin(1/x)+(y^2)*sin(1/y)
当x≠0，y=0时，(x^2)*sin(1/x)
当x=0，y≠0时，(y^2)*sin(1/y)
当x=y=0时，0
可以验证，这个函数在原点处可微，但两个偏导函数在原点处都不连续。

Answer 5

我是7月11号的，缘分啊。一阶连续偏导数和一阶偏导数连续应该是一个概念吧，连续看定义就行了啊，就相当于另一个函数的连续性。一阶偏导数连续不能说明二阶偏导数存在，就跟一阶导数存在不能退出二阶导数存在一样，因为一阶导数不一定可导。判断一阶偏导数连续就用定义就行了啊，好像也没别的办法。