Question

高二椭圆题！

1.过点P(4,1)的直线交椭圆x^2+2y^2=4于A,B两点，若向量AP=向量PB，求直线AB的方程。

2.若m属于[0,3),直线y=2x+m,与椭圆x^2+2y^2交于A,B两点，O为坐标原点，求三角形AOB的最大值。

要过程，谢谢！
1.过点P(1,1)的直线交椭圆x^2+2y^2=4于A,B两点，若向量AP=向量PB，求直线AB的方程。

2.若m属于[0,3),直线y=2x+m,与椭圆x^2+2y^2=4交于A,B两点，O为坐标原点，求三角形AOB的最大值。

Answer 1

1）设直线方程为：y-1=k(x-1)∴y=kx-k+1

带入椭圆方程得：x^2+2(kx-k+1)^2-4=0

整理得：（2k^2+1）x^2+(4k-4k^2)x+2k^2-4k-2=0

∴x1+x2=-b/a=(4k^2-4k)/（2k^2+1）

又∵向量AP=向量PB，∴P为直线所截弦的中点，即(x1+x2)/2=1

∴(4k^2-4k)/（2k^2+1）=2

解得k=-1/2

∴直线方程为x+2y-3=0

2）原直线方程=2x-y+m=0

∴到原点O的距离为：d=|m|/根号5

把直线方程带入椭圆方程得：9x^2+8mx+2m^2-4=0,a=9,b=8m,c=2m^2-4

∴x1+x2=-b/a,x1×x2=c/a

∴x1-x2=根号下[（b^2-4ac）/a^2]=根号下（144-8m^2）/81

根据弦长公式，直线与椭圆截得的弦长为：

L=根号下1+k^2 × |x1-x2|=根号5 × |x1-x2|

∴S△AOB=L×d/2=|m|/根号5 × 根号5 × |x1-x2|/2=|m|× |x1-x2|/2≤（|m|+|x1-x2|）/8

根据均值定理，当m=x1-x2时有最大值，∴m^2=(x1-x2)^2

即m^2=（144-8m^2）/81

解得m=12/根号下89

∴S=48/89