Question

一道高中数学圆锥曲线题求解

已知椭圆x^2/16+y^2/4=1,求椭圆中所有长为2的弦的中点的轨迹方程
这题若用代点相减法做该怎样做？或者有没简便的解法？

Answer 1

设该弦上两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），中点坐标（x0，y0）
则有 （x1）^2/16+(y1)^2/4=1 ……（一式）
同理 （x2）^2/16+(y2)^2/4=1 ……（二式）
两式相减 的 (x1-x2)xo/16=-(y1-y2)y0/4
等价于(x0-x2)xo/16=-(y0-y2)y0/4……（三式）
又弦长为2 可得 （x2-x1）^2+(y2-y1)^2=4 将其和（x0,y0）挂钩 可转换成
（x2-x0）^2+(y2-y0)^2=1……（四式）
由（三式） 和（四式） 代换得到
（16y0^2+xo^2）(x2-xo)^2=16y0^2……(五式)
同理 （16y0^2+xo^2）(y2-yo)^2=x0^2……（六式）
此时只需要将x2，y2消去便可得到中点方程
由 将（五式）+（六式）*4，得到
（16y0^2+xo^2）[x2^2+4y2^2-2(x2x0+4y2y0)+x0^2+yo^2]=16y0^2+4x0^2……（七式）
最后 将（二式）和（三式）代入（七式） 便可得到关于中点的方程
（16y0^2+xo^2）（16-x0^2-4y0^2）=16y0^2+4x0^2

应该这么做吧 呵呵

Answer 2

[x^2+16y^2+4]*[4y^2-x^2+16]=64.

Answer 3

解：设该弦上两点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），中点坐标（x0，y0）
则有 （x1）^2/16+(y1)^2/4=1 ……（1）
同理 （x2）^2/16+(y2)^2/4=1 ……（2）
（2）减 （1）得 (x2-x1)x0/8=-(y2-y1)y0/2，
直线AB的斜率k=（y2-y1）/（x2-x1）=-x0/4y0。
又由（y2-y1)^2+（x2-x1)^2=4得(x0)^2/(4y0)^2+1=4/（x2-x1)^2.
过A、B两点的直线方程为y-y0=k(x-x0)及k=-x0/4y0代入x^2/16+y^2/4=1中，利用韦达定理得x1+x2=2x0,x1*x2=[(4y0^2+x0^2)^2-64y0^2]/(4y0^2+x0^2).
(x2-x1)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4x0^2-4[(4y0^2+x0^2)^2-64y0^2]/(4y0^2+x0^2)
=4{x0^2-[(4y0^2+x0^2)^2-64y0^2]/(4y0^2+x0^2)}.
代入(x0)^2/(4y0)^2+1=4/（x2-x1)^2并化简，得
x0^4-8x0^2+4x0^2y0^2+32y0^2=64.

Answer 4

请问这是高几的有点难度：
设该弦上两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），中点坐标（x0，y0）
则有 （x1）^2/16+(y1)^2/4=1 ……（一式）
同理 （x2）^2/16+(y2)^2/4=1 ……（二式）
两式相减 的 (x1-x2)xo/16=-(y1-y2)y0/4
等价于(x0-x2)xo/16=-(y0-y2)y0/4……（三式）
又弦长为2 可得 （x2-x1）^2+(y2-y1)^2=4 将其和（x0,y0）挂钩 可转换成
（x2-x0）^2+(y2-y0)^2=1……（四式）
由（三式） 和（四式） 代换得到
（16y0^2+xo^2）(x2-xo)^2=16y0^2……(五式)
同理 （16y0^2+xo^2）(y2-yo)^2=x0^2……（六式）
此时只需要将x2，y2消去便可得到中点方程
由 将（五式）+（六式）*4，得到
（16y0^2+xo^2）[x2^2+4y2^2-2(x2x0+4y2y0)+x0^2+yo^2]=16y0^2+4x0^2……（七式）
最后 将（二式）和（三式）代入（七式） 便可得到关于中点的方程
（16y0^2+xo^2）（16-x0^2-4y0^2）=16y0^2+4x0^2

Answer 5

64