Question

一道高中数学公式证明题

若已知点M(x0,y0)在圆（x-a)^2+(y-b)^2=r^2外，
则弦AB的方程也为
(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2

这一个怎么证明呢？
非常好，我很满意呢。

Answer 1

你问的我来解答。
首先，题目少了条件:过M引圆（x-a)^2+(y-b)^2=r^2的切线分别交圆于A,B两点。
证明:设A(x1,y1),B(x2,y2) 。不知道阁下是否知道已知圆上一点引出的切线方程。是这样,A在（x-a)^2+(y-b)^2=r^2上，所以切线方程为(x-a)(x1-a)+(y-b)(y1-b)=r^2，同理在B点的切线方程是(x-a)(x2-a)+(y-b)(y2-b)=r^2。
M点是关键点，它是两条切线的交点，所以M在两条线上，得到:
(x0-a)(x1-a)+(y0-b)(y1-b)=r^2
(x0-a)(x2-a)+(y0-b)(y2-b)=r^2
题目要求直线AB的方程，这两个方程恰好能够求出该方程。这两个式子可以看作A(x1,y1),B(x2,y2)在(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2上。
综上，AB的方程为:
(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2
对于圆的切线方程，我能解释，但涉及导数、微积分，就不阐述了。也可以用联立方程，令Δ=0求得方程。

Answer 2

过点M(x-a)²+(y-b)²=r²的两条切线,切点为A、B，则弦AB的方程为
(x-a)²+(y-b)²=r²

则切点弦AB的方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r²

（1）（向量法）
设圆上一点A为（x0,y0),则该点与圆心O的向量OA（x0-a,y0-b)
因为过该点的切线与该方向半径垂直，则有切线方向上的单位向量与向量OA的点积为0.
设直线上任意点B为(x,y)
则对于直线方向上的向量AB（x-x0,y-y0)
有向量AB与OA的点积
AB●OA=(x-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-y0)
=（x-a+a-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-b+b-y0)
=(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)-(x0-a)^2-(y0-b)^2=0
故有(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=(x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2
（2）（分析-解析法）
设圆上一点A为（x0,y0),则有：(x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2
对隐函数求导，则有：
2(x0-a)dx+2(y0-b)dy=0
dy/dx=(a-x0)/(y0-b)=k
（隐函数求导法亦可证明椭圆的切线方程，方法相同）
或直接k1=(y0-b)/(x0-a); k*k1=-1;（k1为与切线垂直的半径斜率。）
得k=(a-x0)/(y0-b) （以上处理是假设斜率存在，在后面讨论斜率不存在的情况）
所以切线方程可写为：y=(a-x0)/(y0-b)x+B
将点（x0,y0),可求出B=（x0-a)x0/(y0-b)+y0
所以:
y(y0-b)+(x0-a)x=(x0-a)x0+(y0-b)y0
(y0-b)(y-b+b-y0)+(x0-a)(x-a+a-x0)=0
(y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=(x0-a)^2+(y0-b)^2
(y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=R^2
当斜率不存在时，切点为与x轴平行的直线过圆心与圆的交点。
此类切点有2个，不妨设为M（a-r,b);N(a+r,b)
(y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=r^2
将2点带入上式，亦成立。

Answer 3

设圆上一点A为（x0,y0),则有：(x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2
对隐函数求导，则有：
2(x0-a)dx+2(y0-b)dy=0
dy/dx=(a-x0)/(y0-b)=k
（隐函数求导法亦可证明椭圆的切线方程，方法相同）
或直接k1=(y0-b)/(x0-a); k*k1=-1;（k1为与切线垂直的半径斜率。）
得k=(a-x0)/(y0-b) （以上处理是假设斜率存在，在后面讨论斜率不存在的情况）
所以切线方程可写为：y=(a-x0)/(y0-b)x+B
将点（x0,y0),可求出B=（x0-a)x0/(y0-b)+y0
所以:
y(y0-b)+(x0-a)x=(x0-a)x0+(y0-b)y0
(y0-b)(y-b+b-y0)+(x0-a)(x-a+a-x0)=0
(y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=(x0-a)^2+(y0-b)^2
(y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=R^2
当斜率不存在时，切点为与x轴平行的直线过圆心与圆的交点。
此类切点有2个，不妨设为M（a-r,b);N(a+r,b)
(y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=r^2
将2点带入上式，亦成立。