Question

如图，平面直角坐标系中，点A（1，2）、B（5，6），点P是x轴上的一个动点，当△PAB周长最小的时候：（1）

如图，平面直角坐标系中，点A（1，2）、B（5，6），点P是x轴上的一个动点，当△PAB周长最小的时候：（1）画出点P，保留作图痕迹；（2）求点P坐标；（3）直线PA上是否存在点M，使得PM=PB？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图所示，点P即为使△PAB周长最小的点；

（2）设AA′与x轴的交点为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵A（1，2）、B（5，6），
∴A′C=2，BD=6，CD=5-1=4，
∵A′C⊥x轴，BD⊥x轴，
∴A′C∥BD，
∴△A′CP∽△BDP，
∴

CP

PD

=

A′C

BD

=

2

6

=

1

3

，
∴CP=

1

3

PD=

1

3

（CD-CP）=

1

3

（4-CP），
解得CP=1，
∵A（1，2），
∴点C的坐标为（1，0），
∴OP=1+1=2，
∴点P的坐标为（2，0）；

（3）直线PA上存在点M，使得PM=PB．
①点M为点B关于x轴的对称点（5，-6）时，符合题意；
②点（5，-6）关于点P的对称点时也符合题意，
此时点M的坐标为（-1，6），
综上所述，点M的坐标为（5，-6）或（-1，6）时，PM=PB．