Question

已知定义在R上的函数f（x）为奇函数，且在[0，+∞）递增，对任意的实数θ∈R，是否存在这样的实数m，使得

已知定义在R上的函数f（x）为奇函数，且在[0，+∞）递增，对任意的实数θ∈R，是否存在这样的实数m，使得f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞f（0）对所有的θ都成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

∵f（x）为奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则f（x）在R上为增函数，且f（0）=0， 所以原不等式可化为f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m），∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m，即∴cos 2 θ-mcosθ+2m-2＞0． 令t=cosθ，则原不等式可转化为： 当t∈[-1，1]时，是否存在m∈R，使得g（t）=t 2 -mt+2m-2＞0恒成立． 由t 2 -mt+2m-2＞0，t∈[-1，1]，得 m＞ 2- t 2 2-t =t-2+ 2 t-2 +4 ，t∈[-1，1]时， 令 h(t)=(2-t)+ 2 2-t ≥2 2 ，即当且仅当 t=2- 2 时， h(t ) min =2 2 ， 故 m＞(t-2+ 2 t-2 +4 ) max =4-2 2 ． 即存在这样的m，且 m∈(4-2 2 ，+∞) ．