Question

已知：⊙O 1 与⊙O 2 相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交⊙O 1 和⊙O 2 于点C、D．（1）如图，求证：AC

已知：⊙O 1 与⊙O 2 相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交⊙O 1 和⊙O 2 于点C、D．（1）如图，求证：AC是⊙O 1 的直径；（2）若AC=AD，①如图，连接BO 2 、O 1 O 2 ，求证：四边形O 1 CBO 2 是平行四边形；②若点O 1 在⊙O 2 外，延长O 2 O 1 交⊙O 1 于点M，在劣弧 MB 上任取一点E（点E与点B不重合），EB的延长线交优弧 BDA 于点F，如图所示，连接AE、AF，则AE______AB（请在横线上填上“≥、≤、＜、＞”这四个不等号中的一个）并加以证明．（友情提示：结论要填在答题卡相应的位置上）

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Answer 1

（1）证明：∵CD⊥AB，（1分） ∴∠ABC=90°．（2分） ∴AC是⊙O 1 的直径．（3分） （2）①证明：∵CD⊥AB， ∴∠ABD=90°． ∴AD是⊙O 2 的直径．（4分） ∵AC=AD， ∵CD⊥AB， ∴CB=BD．（5分） ∵O 1 、O 2 分别是AC、AD的中点， ∴O 1 O 2 ∥ CD且O 1 O 2 = 1 2 CD=CB．（6分） ∴四边形O 1 CBO 2 是平行四边形．（7分） ②AE＞AB，（8分） 当点E在劣弧 MC 上（不与点C重合）时， ∵AC=AD， ∴∠ACD=∠ADC． ∴∠AEB=∠ACD=∠ADC=∠AFB． ∴AE=AF．（9分） 记AF交BD为G， ∵AB⊥CD， ∴AF＞AG＞AB．（10分） 当点E与点C重合时，AE=AC＞AB， 当点E在劣弧 CB 上（不与点B重合）时，设AE交CD与H， AE＞AH＞AB．（11分） 综上，AE＞AB．（12分）