Question

已知函数f（x）=x2+alnx+2x在[1，+∞）上是单调递增函数，求实数a的取值范围

已知函数f（x）=x2+alnx+2x在[1，+∞）上是单调递增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

由函数f（x）=x²+alnx+

2

x

，得f′（x）=2x+

a

x

?

2

x2

．（4分）
若函数f（x）为[1，+∞）上的单调增函数，则f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式2x+

a

x

?

2

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立．也即a≥

2

x

?2x2在[1，+∞）上恒成立．（8分）
又h(x)＝

2

x

?2x2在[1，+∞）上为减函数，h（x）_max=h（1）=0．所以a≥0．（12分）