如图，梯形ABCD中，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝12AB＝a，E是AB的中点，将△ADE沿DE折起，使点A折到点P的位置，
如图，梯形ABCD中，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝12AB＝a，E是AB的中点，将△ADE沿DE折起，使点A折到点P的位置，且二面角P-DE-C的大小为120°（1）求...
如图，梯形ABCD中，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝12AB＝a，E是AB的中点，将△ADE沿DE折起，使点A折到点P的位置，且二面角P-DE-C的大小为120°（1）求证：DE⊥PC；（2）求点D到平面PBC的距离；（3）求二面角D-PC-B的大小．
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（1）连接EC，
∵E是AB的中点，∴BE＝
AB，
又∵CD∥AB，DC＝
AB，∴DC∥EB且DC=EB
∴CD∥AE且CD=AE，
∴四边形ADCE为平行四边形，
又AD=DC，∴四边形ADCE是菱形．
连接AC交DE于F，连接PF，
则DE⊥AC，DE⊥PF，
∵AC∩PF=F，∴DE⊥平面PFC．
又∵PC?平面PFC，∴DE⊥PC．
（ 2）∵DE∥BC，DE在平面PBC外，
∴DE∥面PBC，∴D点到面PBC的距离即为点F到面PBC的距离，过点F作FG⊥PC，垂足为G，
∵DE⊥面PCF，∴BC⊥面PCF∴面PBC⊥面PCF，∴FG⊥面PBC，
∴FG的长即为点F到面PBC的距离，菱形ADCE中，AF=FC，
∴PF＝CF＝
a，∵∠PFC=120°，∴∠FPC=∠FCP=30°，
∴FG＝
PF＝
a
（3）取PB的中点G，连HG，可知∠DHG为所求二面角，DO＝HG＝
a，DH＝
a，
在直角三角形DHO中，sin∠DHO＝
＝
，又因为GH⊥面POC，
∴GH⊥OH∠DHG＝∠DHO+∠GHO＝
+arcsin
∵E是AB的中点，∴BE＝
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又∵CD∥AB，DC＝
| 1 |
| 2 |
∴CD∥AE且CD=AE，
∴四边形ADCE为平行四边形，
又AD=DC，∴四边形ADCE是菱形．
连接AC交DE于F，连接PF，
则DE⊥AC，DE⊥PF，
∵AC∩PF=F，∴DE⊥平面PFC．
又∵PC?平面PFC，∴DE⊥PC．
（ 2）∵DE∥BC，DE在平面PBC外，
∴DE∥面PBC，∴D点到面PBC的距离即为点F到面PBC的距离，过点F作FG⊥PC，垂足为G，
∵DE⊥面PCF，∴BC⊥面PCF∴面PBC⊥面PCF，∴FG⊥面PBC，
∴FG的长即为点F到面PBC的距离，菱形ADCE中，AF=FC，
∴PF＝CF＝
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∴FG＝
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（3）取PB的中点G，连HG，可知∠DHG为所求二面角，DO＝HG＝
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| 2 |
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| 4 |
在直角三角形DHO中，sin∠DHO＝
| DO |
| DH |
2
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∴GH⊥OH∠DHG＝∠DHO+∠GHO＝
| π |
| 2 |
2
| ||
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