Question

已知函数f（x）=㏒ax（a＞0且a≠1），若数列2，f（a1），f（a2），…，f（an），2n+4（n∈N*）成等差数列

已知函数f（x）=㏒ax（a＞0且a≠1），若数列2，f（a1），f（a2），…，f（an），2n+4（n∈N*）成等差数列（1）求数列{a n}的通项a n；（2）令b n=anf（an），当a＞1时，判断数列{bn}的单调性并证明你的结论．

Answer 1

（1）解：∵数列2，f（a ₁），f（a ₂），…，f（a _n），2n+4（n∈N^*）成等差数列
∴2n+4=2+（n+1）d，∴d=2，
∴f（a_n）=2+2n=log_aa_n，
∴a_n=a²ⁿ⁺²
（2）数列{b _n}单调递增
证明：∵b _n=a_nf（a_n），
∴b_n=（2n+2）a²ⁿ⁺²，
则b_n+1=（2n+4）a²ⁿ⁺⁴，
∴b_n+1-b_n=（2n+4）a²ⁿ⁺⁴-（2n+2）a²ⁿ⁺²=a²ⁿ⁺²[（2n+4）a²-（2n+2）]
∵a＞1
∴a²＞1
∴（2n+4）a²-（2n+2）＞（2n+4）-（2n+2）=2＞0
∴b_n+1-b_n＞0即数列{b _n}单调递增．