Question

已知f（x）是定义在r上的函数，对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x-y）+2f（y）co

已知f（x）是定义在r上的函数，对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x-y）+2f（y）cosx，且f（1）=1，则f（2016）=________.

Answer 1

由题意f（x+y）=f（x-y）+2f（y）cosx 和f（1）=1，

因为f（x）加y可以写成x等于y等于零，一次可以得出f（y），就是f（0）等于零，然后，你可以写f（3）等于f二加一，x然后就可以得依次类推出，一直加到2016就行了。
可以推出：
f(2016)=f(2015+1)=f(2015-1)+2f(1)cos2015=f(2014)+2cos2015
=f(2012)+2cos2013+2cos2015
=f(2010)+2cos2011+2cos2013+2cos2015
……
=f(0)+2(cos1+cos3+……+cos2015)
取x=y=0代入f(x+y)=f(x-y)+2f(y)cosx，得f(0)=0
所以f(2016)=2(cos1+cos3+……+cos2015)≈-0.932

希望采纳，谢谢！

追问

你后面那里怎么得到f(0)等于0的?取x=y=0，不是f(0)=3f(0)么

还有那一堆cos怎么算出来的?

追答

f(0+0) = f(0-0) +2f(0) cos0
=> 2f(0) =0 =>f(0) =0
f(x+1) = f(x-1) +2f(1)cosx
f(x+1) =f(x-1)
+2cosx
f(x+2)=f(x) + 2cos(x+1)
f(2)=f(0) +2cos(1) = 2cos(1)
f(4) =
f(2)+2cos(3) = 2(cos(1)+cos(3))
f(6)= f(4)+2cos(5) =
2(cos(1)+cos(3)+cos5)
f(2016) = 2(cos1 +cos3+...+cos 2015)

追问

不是，我的意思是，最后结果是用计算机算的?

追答

是的！991里面的Σ求和求出来近似值。
但是你也可以用cosα+cos(π-α)=0来简化计算!

希望采纳，谢谢！

追问

……总感觉方法不对，一般不是可以笔算化简么