Question

已知（x 2 +1） n 展开式中的各项系数之和等于（ 16 5 x 2 + 1 x

Answer 1

由（
16
5
x
2
+
1
x
）
5
得，
t
r+1
=c
5
r
（
16
5
x
2
）
5-r
（
1
x
）
r
=（
16
5
）
5-r
?c
5
r
?x
20-5r
2
．
令t
r+1
为常数项，则20-5r=0，
∴r=4，∴常数项t
5
=c
5
4
×
16
5
=16．
又（a
2
+1）
n
展开式的各项系数之和等于2
n
．
由题意得2
n
=16，∴n=4．
由二项式系数的性质知，（a
2
+1）
n
展开式中二项式系数最大的项是中间项t
3
，
∴c
4
2
a
4
=54，
∴a=±
3
．

Answer 2

把x=1代入可得（x
2
+1）
n
展开式中的各项系数之和为2
n
，
而（
16
5
x
2
+
1
x
）
5
展开式的通项为T
k+1
=
C
k5
(
16
5
x
2
)
5-k
(
1
x
)
k
=
C
k5
(
16
5
)
5-k
x
10-
5k
2
，
令10-
5k
2
=0，可得k=4，故常数项为T
5
=16，
由题意可得2
n
=16，故n=4，
故（x
2
+1）
n
=（x
2
+1）
4
，展开式共5项，
故二项式系数最大项为第3项，为
C
34
(
x
2
)
2
?
1
2
=4x
4