求不定积分1/x^2(2x^2-2x+1)^2
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你是不是想求：∫｛1/［x^2（2x^2－2x＋1）^2］｝dx
？ 若是这样，则方法如下：
令1/x＝u，则x＝1/u， ∴dx＝－（1/u^2）du。
∴原式＝∫｛1/［（1/u^2）（2/u^2－2/u＋1）^2］｝［－（1/u^2）］du
＝－∫［u^2/（2－2u＋u^2）^2］du
＝－∫［（u^2－2u＋2＋2u－2）/（u^2－2u＋2）^2］du
＝－∫［1/（u^2－2u＋2）］du＋2∫［（u－1）/（u^2－2u＋2）^2］du
＝－∫｛1/［（u－1）^2＋1］｝d（u－1）＋2∫｛（u－1）/［（u－1）^2＋1］｝d（u－1）
＝－arctan（u－1）＋∫｛1/［（u－1）^2＋1］｝d（u－1）^2
＝－arctan（1/x－1）＋ln｜（u－1）^2＋1｜＋C
＝－arctan（1/x－1）＋ln｜（1/x－1）^2＋1｜＋C
？ 若是这样，则方法如下：
令1/x＝u，则x＝1/u， ∴dx＝－（1/u^2）du。
∴原式＝∫｛1/［（1/u^2）（2/u^2－2/u＋1）^2］｝［－（1/u^2）］du
＝－∫［u^2/（2－2u＋u^2）^2］du
＝－∫［（u^2－2u＋2＋2u－2）/（u^2－2u＋2）^2］du
＝－∫［1/（u^2－2u＋2）］du＋2∫［（u－1）/（u^2－2u＋2）^2］du
＝－∫｛1/［（u－1）^2＋1］｝d（u－1）＋2∫｛（u－1）/［（u－1）^2＋1］｝d（u－1）
＝－arctan（u－1）＋∫｛1/［（u－1）^2＋1］｝d（u－1）^2
＝－arctan（1/x－1）＋ln｜（u－1）^2＋1｜＋C
＝－arctan（1/x－1）＋ln｜（1/x－1）^2＋1｜＋C
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