Question

一个基本有趣的概率问题

这道几何概型问题已经困扰我这高中生许多个月了，请尽量答复。

在边长为5m的正方形区域中有A,B两点，求两点距离小于1m的概率。

我的想法：使其中一点与正方形区域两边的距离都不小于半径，则另一点和它距离小于1m的概率为“以A为圆心，半径为AB距离的圆的面积”与“正方形区域的面积“之比，但是如果A点不是固定的呢，那么这个概率是否一样呢？我用程序模拟出概率，发现比刚才的概率偏小。那么这个概率能否用一个式子来表达呢？

我老师的想法：把其中一点放在正方形的一个顶点，得到最小概率；使其中一点与正方形区域两边的距离都不小于半径，则得到最大概率。所以概率为在最小概率和最大概率之间的变量。（他没有指出这个数是多少，只是说出了范围，而我认为这个数应该是可确定的而非变量）。

答得好的网友我会追加一定的积分（讨论的5分，新想法但没有具体方法10分，符合我的要求20分）
经过电脑程序计算100000次，该概率近似值为0.9748。
但还未得到求精确概率值的表达式。革命尚未成功，同志仍须努力！

Answer 1

正方形内部3M为边长的小正方形就是最大概率
关键在2个正方形中间部分,记做区域D
我以大正方形左下角为原点建立坐标系
在(x,y)处以1M为半径作圆,圆在大正方形内部的面积记做
f(x,y)则在此处的概率为f(x,y)/25,再在D内用曲面积分求就可以了.
计算可能比较复杂,我没算,但思路就应该是这样的.
不过高中不学积分的...
其实我很想算的..算到一半..看到有人都发了.....我又落后了...哎
我想用下对称可以简化一点

你的意思我没看太懂...
不过3M内部本来也可以按 我后面的思路做的
只是比较特殊好算 我才单独提出

落点的正方形区域边长修改为2m
A,B两点的距离小于1的概率为0怎么得到的啊
应该是正中间那点 为最大概率(就是你老师说的那个)
对于对角线长为1的情况 按我的思路积分一样得到1啊

Answer 2

我有一个想法，但要是用手动计算有点不切合实际
把这个正方形分成几份来算(那些点是没用的，就是为了占格）
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（1）中间那份就是你的想法，和各边距离都大于1，这部分的概率很容易
（2）如果A点在四个角上的方块中，则可以将方块的左下交作为坐标原点作一个直角坐标系，设A点的坐标为(x,y)，那么以a点为圆心作圆在坐标系第一象限的面积可以用x、y表示，这个式子本身就挺麻烦的了。然后用二次积分可以求出如果a点在这个小方块内，那么满足条件的概率。由于四个小方块内条件相同，所以只要计算一个
（3）用和（2）相似的办法也可以算出四个长方形的概率
最后将三个概率加权平均可以得到题目要求的概率
这个概率是可以确定的，但也许高中阶段只要求知道范围就好

Answer 3

楼上的，这个做法原理正确，但好像有点笨。 有否潇洒一点的处理方法？

Answer 4

是这样的，我们约定C（m，n）为m个里选n个的组合数
先看四副牌，如果任意发有C（108，27）×C（81，27）×C（54，27）种
如果要有炸弹，是4×13×C（8，6）×C（102，21）×C（81，27）×C（54，27）种，式子里的4是4个人选一个，13是选一个数做炸，比如A，C(8，6)是8张A里选六个，所以概率是4×13×C（8，6）×C（102，21）×C（81，27）×C（54，27）/C（108，27）×C（81，27）×C（54，27）＝22。5％
好，再看三副牌，任意发的可能有C（54，20）×C（34，17）
而有炸弹的种数4×13×C（4，4）×C（50，16）×C（34×17）
所以有炸弹概率是4×13×C（4，4）×C（50，16）×C（34×17）/C（54，20）×C（34，17）＝79％！但其实大部分概率发生在地主身上！关于这个问题，你如果有兴趣我们可以继续探讨
结论：一副牌三个人拿炸弹几率要大

Answer 5

要解决这道题首先需要知道点数不同的情况发生的对应的概率是多大，此题适合用插隔板法求概率。掷四个骰子一共有6^4种情况，点数为4（全为1）只有一种情况；点数为5（有一个为2）有C4,3种情况；点数为6（有两个为2或一个为3）有C5,3种情况…点数为24有C23,3种情况，用情况数除以总情况数6^4即为这种情况发生的概率。
要看谁合算，需要看各自的平均效益如何，也就是期望E的大小，这既要考虑赢钱X的多少，又要考虑X取每个值时的概率。用赢得的钱数X乘以这种情况的概率的总和就是期望E。