Question

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上,DE⊥EB于点E.

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º．BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB于点E．
（1）求证：AC是△DBE外接圆的切线；
（2）若AD＝6，AE＝6根号2，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：取BD的中点O,连接EO.则OE是△BDE外接圆的半径，O是圆心。

所以：OE=OB

所以：∠OEB=∠OBE

而：∠OBE=∠EBC

所以：∠OEB=∠EBC,即EO‖BC

所以：OE⊥AC (由BC⊥AC得之）

所以：AC是△BDE外接圆的切线。

（2）解：

因为：AE是圆O的切线

所以：AE^2=AD*AB

即：（6√2）^2=6AB, 解得AB=12.

所以：OE=OD=(12-6)/2=3，AO=3+6=9

所以：3/BC=9/12,解得BC=4

Answer 2

(1)△DBE为直角三角形

所以此三角形外接圆的圆心为斜边DB的中点O  连接OE

∵BE平分∠ABC

∴∠1＝∠2

∵OE=OB

∴∠1＝∠3   ∴∠2＝∠3  ∵∠2+∠4=90°∴∠3+∠4=90° ∴ OE⊥AC

∴AC是△DBE外接圆的切线

（2）设○O半径为a  

在直角三角形AEO中  AE=6√2 OE=a  OA=6+a   根据勾股定理得 a=3

即 OE=OD=3  OA=AD+OD=6+3=9  AB=12

∵OE‖BC  ∴△AEO∽△ACB   OE/BC=AO/AB  3/BC=9/12  BC=4