Question

有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（

有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2） 请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交线段BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论；（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？

Answer 1

解：（1）△BMP是等边三角形； 证明：连结AN， ∵EF垂直平分AB， ∴AN=BN， 由折叠知AB=BN， ∴AN=AB=BN， ∴△ABN为等边三角形， ∴∠ABN=60°， ∴∠PBN=30°， 又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°， ∴∠BPN=60°， ∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°， ∴∠BMP=60°， ∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°， ∴△BMP为等边三角形； （2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC≥BP 在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°， ∴BP= ， ∴b≥ ， ∴a≤ b， ∴当a≤ b时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP。