Question

从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除

从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？

Answer 1

解：首先，如下61个数：11，11+33，11+2×33，…，11+60×33（即1991）满足题设条件.       另一方面，设 是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数 ，因为 ， 所以 。 因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数 设 ，i=1，2，3，…，n 由 ，得 所以 ， ，即 ≥11 ≤ 故 ≤60， 所以，n≤61 综上所述，n的最大值为61。