Question

（2014?郑州二模）如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD相交于点F．（Ⅰ）证明

（2014?郑州二模）如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD相交于点F．（Ⅰ）证明：A、E、F、M四点共圆；（Ⅱ）若MF=4BF=4，求线段BC的长．

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图，连结AM，
由AB为直径可知∠AMB=90°，
又CD⊥AB，所以∠AEF=∠AMB=90°，
因此A、E、F、M四点共圆．（4分）
（Ⅱ）解：连结AC，由A、E、F、M四点共圆，
所以BF?BM=BE?BA，（6分）
在RT△ABC中，BC²=BE?BA，（8分）
又由MF=4BF=4知BF=1，BM=5，
所以BC²=5，BC＝

5

．（10分）