Question

已知函数f（x）是R上的增函数，a、b∈R，对命题“若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．”（1）

已知函数f（x）是R上的增函数，a、b∈R，对命题“若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．”（1）写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；（2）写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

Answer 1

（1）逆命题是：若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0，真命题．
用反证法证明：
设a+b＜0，则a＜-b，b＜-a，
∵f（x）是R上的增函数，
∴f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），
∴f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），这与题设f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）矛盾，所以逆命题为真．
（2）逆否命题：若f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），
则a+b＜0，为真命题．
由于互为逆否命题同真假，故只需证原命题为真．
∵a+b≥0，∴a≥-b，b≥-a，
又∵f（x）在R上是增函数，
∴f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a）．
∴f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），
∴原命题真，故逆否命题为真．