Question

已知幂函数f(x)＝x?m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．（I）求函数f（x）的解析

已知幂函数f(x)＝x?m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．（I）求函数f（x）的解析式；（II）设函数g(x)＝14f(x)+ax3+92x2?b(x∈R)，其中a，b∈R.（i）若函数g（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；（ii）对于任意的a∈[-1，1]，不等式g（x）≤2在[-2，2]上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

（I）∵f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，
∴-m²+2m+3＞0即m²-2m-3＜0∴-1＜m＜3，
又∵m∈Z，∴m=0，1，2
而m=0，2时，f（x）=x³不是偶函数，m=1时，f（x）=x⁴是偶函数．
∴f（x）=x⁴
（II）（i）g'（x）=x（x²+3ax+9），显然x=0不是方程x²+3ax+9=0的根．
为使g（x）仅在x=0处有极值，
必须x²+3ax+9≥0恒成立，
即有△=9a²-36≤0．解不等式，
得a∈[-2，2]．这时，g（0）=-b是唯一极值．∴a∈[-2，2]．
（ii）由条件a∈[-1，1]，可知△=9a²-36＜0，从而x²+3ax+9＞0恒成立．
当x＜0时，g'（x）＜0；当x＞0时，g'（x）＞0．
因此函数g（x）在[-2，2]上的最大值是g（2）与g（-2）两者中较大者．
为使对方任意的a∈[-1，1]，不等式g（x）≤2在[-2，2]上恒成立，
当且仅当

g(2)≤2 g(?2)≤2

，即

b≥20+8a b≥20?8a

，在a∈[?1，1]上恒成立．
所以b≥28，因此满足条件的b的取值范围是[28，+∞）．