Question

已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=-x2+2x+2求（1）f（x）的解析式；（2）并指出f（x）的单调

已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=-x2+2x+2求（1）f（x）的解析式；（2）并指出f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（0）=-f（-0），即2f（0）=0，
∴f（0）=0，
又x＞0时，f（x）=-x²+2x+2，
∴当x＜0时，-x＞0，f（-x）=-（-x）²+2（-x）+2=-x²-2x+2，
∵f（x）为奇函数，∴f（x）=-f（-x），
∴当x＜0时，f（x）=x²+2x-2，
∴函数解析式是：f（x）=

?x2+2x+2，x＞0 0，x＝0 x2+2x?2，x＜0

．
（2）当x＞0时，f（x）=-x²+2x+2=-（x-1）²+3在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减；
当x＜0时，f（x）=x²+2x-2=（x+1）²-3在（-∞，-1）上递减，在（-1，0）上递增；
∴f（x）的增区间为（0，1）和（-1，0），减区间为（1，+∞）和（-∞，-1）．