Question

用数学归纳法证明 设f(n)=1+1/2+1/3+.....+1/n 求证f(1)+f(2)+....+(n-1)=n·[f(n)-1]

设f(n)=1+1/2+1/3+.....+1/n 求证f(1)+f(2)+....+(n-1)=n·[f(n)-1]用数学归纳法

Answer 1

f(1)=1, f(2)=3/2 ；
f(1)=1 , 2*(f(2)-1)=1 ，即 f(1)=2*(f(2)-1) ；
那么当 n=2 时结论成立；
假设当n=k时，结论成立，即
f(1)+f(2)+......+f(k-1) = k*(f(k)-1) ；
当n=k+1时，f(1)+f(2)+.....+f(k-1)+f(k) = k*(f(k)-1)+f(k)
= k*f(k)-k+f(k) = k*(f(k+1)-1/(k+1))-k+f(k+1)-1/(k+1)
= k*f(k+1)-k/(k+1)-k+f(k+1)-1/(k+1)
= (k+1)*f(k+1)-(k+1)
=(k+1)*[f(k+1)-1]
所以结论成立，即对任意的n，有
f(1)+f(2)+......+f(n-1) = n*[f(n)-1]
希望对你有用；满意请采纳，谢谢~