Question

已知函数f（x）=e ax -x，其中a≠0．（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合．（2）在函数f

已知函数f（x）=e ax -x，其中a≠0．（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合．（2）在函数f（x）的图象上取定两点A（x 1 ，f（x 1 ）），B（x 2 ，f（x 2 ）（x 1 ＜x 2 ），记直线AB的斜率为K，问：是否存在x 0 ∈（x 1 ，x 2 ），使f′（x 0 ）＞k成立？若存在，求x 0 的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）若a＜0，则对一切x＞0，函数f（x）=e ax -x＜1，这与题设矛盾， ∵a≠0，∴a＞0 ∵f′（x）=ae ax -1，令f′（x）=0，可得 x= 1 a ln 1 a 令f′（x）＜0，可得 x＜ 1 a ln 1 a ，函数单调减；令f′（x）＞0，可得 x＞ 1 a ln 1 a ，函数单调增， ∴ x= 1 a ln 1 a 时，f（x）取最小值 f( 1 a ln 1 a )= 1 a - 1 a ln 1 a ∴对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，则 1 a - 1 a ln 1 a ≥1 ① 令g（t）=t-tlnt，则g′（t）=-lnt 当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减 ∴t=1时，g（t）取最大值g（1）=1 ∴当且仅当 1 a =1，即a=1时，①成立 综上所述，a的取值集合为{1}； （2）由题意知， k= e a x 2 - e a x 1 x 2 - x 1 -1 令φ（x）=f′（x）-k= a e ax - e a x 2 - e a x 1 x 2 - x 1 ，则 φ( x 1 )=- e a x 1 x 2 - x 1 [ e a( x 2 - x 1 ) -a( x 2 - x 1 )-1] φ( x 2 )= e a x 2 x 2 - x 1 [ e a( x 1 - x 2 ) -a( x 1 - x 2 )-1] 令F（t）=e t -t-1，则F′（t）=e t -1 当t＜0时，F′（t）＜0，函数单调减；当t＞0时，F′（t）＞0，函数单调增； ∴t≠0时，F（t）＞F（0）=0，即e t -t-1＞0 ∴ e a( x 2 - x 1 ) -a( x 2 - x 1 )-1＞0 ， e a( x 1 - x 2 ) -a( x 1 - x 2 )-1＞0 ∵ e a x 1 x 2 - x 1 ＞0， e a x 2 x 2 - x 1 ＞0 ∴φ（x 1 ）＜0，φ（x 2 ）＞0 ∴存在c∈（x 1 ，x 2 ），φ（c）=0 ∵φ′（x）单调递增，故这样的c是唯一的，且 c= 1 a ln e a x 2 - e a x 1 a( x 2 - x 1 ) 当且仅当x∈（ 1 a ln e a x 2 - e a x 1 a( x 2 - x 1 ) ，x 2 ）时，f′（x）＞k 综上所述，存在x 0 ∈（x 1 ，x 2 ），使f′（x 0 ）＞k成立，且x 0 的取值范围为（ 1 a ln e a x 2 - e a x 1 a( x 2 - x 1 ) ，x 2 ）