Question

已知i，j是x，y轴正方向的单位向量，设a＝xi+(y?1)j，b＝xi+(y+1)j，且满足|a|+|b|＝22．（1）求点P（x，

已知i，j是x，y轴正方向的单位向量，设a＝xi+(y?1)j，b＝xi+(y+1)j，且满足|a|+|b|＝22．（1）求点P（x，y）的轨迹C的方程；（2）设点F（0，1），点A、B、C、D在曲线C上，若AF与FB共线，CF与FD共线，且AF?CF＝0，求四边形ACBD的面积的最小值和最大值．

Answer 1

（1）∵|a|+|b|＝2

2

，
∴

x2+(y?1)2

+

x2+(y+1)2

＝2

2

由椭圆的定义可知，动点P（x，y）的轨迹方程x2+

y2

2

＝1．
（2）直线AB，CD中至少有一条存在斜率，不妨设AB的斜率为k，
故AB的方程为y=kx+1，将此式子代入椭圆方程得（2+k²）x²+2kx-1=0，
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x1＝

?k? 2k2+2

2+k2

，x2＝

?k+ 2k2+2

2+k2

，
从而|AB|2＝(x1?x2)2+(y1?y2)2＝

8(1+k2)2

(2+k2)2

，即|AB|＝

2 2 (1+k2)

2+k2

①当k≠0时，CD的斜率为?

1

k

，同上可得|CD|＝

2 2 (1+(? 1 k )2)

2+(? 1 k )2

，
故四边形ABCD面积为：
S＝

4(2+k2+ 1 k2 )

5+2k2+ 2 k2

，令u＝k2+

1

k2

≥2，得S＝

4(2+u)

5+u

＝2(1?

1

5+2u

)，
∴

16

9

≤S＜2．
②当k=0时，易得S=2．
故四边形ABCD面积的最小值和最大值分别为

16

9

和2．