Question

设a＞0，函数 f(x)= alnx x （1）讨论f（x）的单调性（2）求f（x）在区间[a，2a]上的最小值

设a＞0，函数 f(x)= alnx x （1）讨论f（x）的单调性（2）求f（x）在区间[a，2a]上的最小值．

Answer 1

（1）∵函数 f(x)= alnx x （x＞0）， ∴f′（x）= a(1-lnx) x 2 ∵a＞0，所以判断1-lnx的符号， 当0＜x＜e时，f′（x）＞0，为增函数， 当x＞e时，f′（x）＜0，为减函数， ∴x=e为f（x）的极大值， ∴f（x）在（0，e）上单调递增；（e，+∞）是减函数． （2）∵f（x）在（0，e）上单调递增；（e，+∞）是减函数 ∴当a≤2e，x=a时有最小值，为f（a）= alna a =lna． 当a＞2e，x=2a时有最小值，为f（a）= aln(2a) 2a =ln ln(2a) 2 ．