Question

已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的最大值；（2）已知y=f（x）在x∈[1

已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的最大值；（2）已知y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范围；（3）求证： 1 2 +1+1 1 2 +1 ? 2 2 +2+1 2 2 +2 ? 3 2 +3+1 3 2 +3 ?…? n 2 +n+1 n 2 +n ＜e ．

Answer 1

（1）∵f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R），a=1， ∴ f ′ (x)= 1 1+x -1= -x 1+x ， 由 f ′ (x)= -x 1+x ＞0，得-1＜x＜0；由 f ′ (x)= -x 1+x ＜0，得x＞0； 所以y=f（x）在（-1，0）为增，在（0，+∞）为减， 所以x=0时，f（x）取最大值0． （2）y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0， 等价于 a＞ ln(x+1) x 恒成立， 设 g(x)= ln(x+1) x ? g ′ (x)= x 1+x -ln(x+1) x 2 ， 设 h(x)= x 1+x -ln(x+1)? h ′ (x)= 1 (1+x) 2 - 1 1+x = -x (1+x) 2 ＜0(x≥1) ， 所以h（x）是减函数，所以 h(x)≤h(1)= 1 2 -ln2＜0(4＞e?2＞ e 1 2 ) ， 所以g（x）是减函数，g max （x）=g（1），所以a＞ln2 （3）要证 1 2 +1+1 1 2 +1 ? 2 2 +2+1 2 2 +2 ? 3 2 +3+1 3 2 +3 ?…? n 2 +n+1 n 2 +n ＜e ， 只需证 ln 1 2 +1+1 1 2 +1 +ln 2 2 +2+1 2 2 +2 +…+ln n 2 +n+1 n 2 +2 ＜1 只需证 ln(1+ 1 1 2 +1 )+ln(1+ 1 2 2 +2 )+…+ln(1+ 1 n 2 +n )＜1 因为 ln(1+ 1 n 2 +n )＜ 1 n 2 +n = 1 n - 1 n+1 ， 所以 ln(1+ 1 1 2 +1 )+ln(1+ 1 2 2 +2 )+…+ln(1+ 1 n 2 +n )＜1- 1 n+1 ＜1 ． 故 1 2 +1+1 1 2 +1 ? 2 2 +2+1 2 2 +2 ? 3 2 +3+1 3 2 +3 ?…? n 2 +n+1 n 2 +n ＜e ．