抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．（1）求该抛物线的解析式
抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．（1）求该抛物线的解析式．（2）试判断抛物线上是否存在一点P，使∠PO...
抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．（1）求该抛物线的解析式．（2）试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM=90°．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK=90°，若不存在，说明理由；若存在，求出K点的坐标．
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（1）根据题意，得
，解得
，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x；
（2）抛物线上存在一点P，使∠POM=90?．
x=-
=-
=2，y=
=
=-4，
∴顶点M的坐标为（2，-4），
设抛物线上存在一点P，满足OP⊥OM，其坐标为（a，a2-4a），
过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F．
则∠POE+∠MOF=90?，∠POE+∠EPO=90?．
∴∠EPO=∠FOM．
∵∠OEP=∠MFO=90?，
∴Rt△OEP∽Rt△MFO．
∴OE：MF=EP：OF．
即（a2-4a）：2=a：4，
解得a1=0（舍去），a2=
，
∴P点的坐标为（
，
）；
（3）过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N．则∠FMN+∠OMF=90?．
∵∠MOF+∠OMF=90?，
∴∠MOF=∠FMN．
又∵∠OFM=∠MFN=90?，
∴△OFM∽△MFN．
∴OF：MF=MF：FN． 即 4：2=2：FN．∴FN=1．
∴点N的坐标为（0，-5）．
设过点M，N的直线的解析式为y=kx+b，则
|
|
∴抛物线的解析式为y=x2-4x；
（2）抛物线上存在一点P，使∠POM=90?．
x=-
| b |
| 2a |
| ?4 |
| 2 |
| 4ac?b2 |
| 4a |
| ?16 |
| 4 |
∴顶点M的坐标为（2，-4），
设抛物线上存在一点P，满足OP⊥OM，其坐标为（a，a2-4a），
过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F．
则∠POE+∠MOF=90?，∠POE+∠EPO=90?．
∴∠EPO=∠FOM．
∵∠OEP=∠MFO=90?，
∴Rt△OEP∽Rt△MFO．
∴OE：MF=EP：OF．
即（a2-4a）：2=a：4，
解得a1=0（舍去），a2=
| 9 |
| 2 |
∴P点的坐标为（
| 9 |
| 2 |
| 9 |
| 4 |
（3）过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N．则∠FMN+∠OMF=90?．
∵∠MOF+∠OMF=90?，
∴∠MOF=∠FMN．
又∵∠OFM=∠MFN=90?，
∴△OFM∽△MFN．
∴OF：MF=MF：FN． 即 4：2=2：FN．∴FN=1．
∴点N的坐标为（0，-5）．
设过点M，N的直线的解析式为y=kx+b，则
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