Question

求微分方程(x^2+y^2+x)dx+xydy=0的通解

Answer 1

解：∵(x^2+y^2+x)dx+xydy=0
==>(x^2+x)dx+(y^2dx+xydy)=0
==>(x^3+x^2)dx+(xy^2dx+x^2ydy)=0 (等式两端同乘x)
==>∫(x^3+x^2)dx+∫(xy^2dx+x^2ydy)=0 (积分)
==>x^4/4+x^3/3+x^2y^2/2=C/12 (C是常数)
==>3x^4+4x^3+6x^2y^2=C
∴此方程的通解是3x^4+4x^3+6x^2y^2=C。

Answer 2

这是一阶齐次微分方程
(x^2+y^2)dx-xydy=0
dy/dx=(x²+y²)/(xy)
dy/dx=((x/y)²+1)/(x/y)
令u=y/x
则dy=du*x+dx*u
dy/dx=(du/dx)*x+u
代入得
(du/dx)*x+u=(u²+1)/u=u+1/u
du/dx=1/(xu)
u*du=dx/x
两边积分得
(1/2)u²=lnx+C
将u=y/x回代
(1/2)(y/x)²=(lnx)+C
y²=2x²((lnx)+C)
这是该微分方程的通解~