Question

已知二次函数f(x)在x=二分之t+2处取得最小值负的四分之t的平方（t不等于0）且f(1)=0

已知二次函数f(x)在x=二分之t+2处取得最小值负的四分之t的平方（t不等于0）且f(1)=0
(1)求f(x)的表达式
（2）若函数f(x)在闭区间【-1，二分之一】上的最小值-5，求对应的t和x的值

Answer 1

1)∵f(x)在x=t/2+2,取得最小值橡笑坦y=-t^2/4 ∴f(x)=[x-(t/2+2)]^2-t^2/4
∵f(1)=0 ∴将x=1代入，得：t=-1
∴f(x)=[x-(t/2+2)]^2-t^2/4=(x-3/2)^2-1/4
2)
①当x=t/2+2∈[-1，1/2]时
解得：t∈[-6,-3],最小值y=-t^2/4=-5,解得t=-2√5(舍正)，梁桐x=2-√5
②当x=t/2+2〉1/2时
解得：t>-3，最小值为f(1/2)=-5，解得：t=-29/6,x=-29/12+2=-5/12
③当x=t/2+2<-1时
解得：t<-6,最小值为f(-1)=-5，解得升团：t=-14/3,x=-7/3+2=-1/3

Answer 2

(1)解析：∵慧高握二次函数f（x）在x=(t+2)/2处取得最小值-t^2/4（t不等于0）
即f[(t+2)/2]= -t^2/4
设前庆x=(t+2)/2 t≠0
∴t=2x-2, x≠1
又f（1）=0
∴F(x)=-(x-1)^2
(2)解析：∵f（x）在闭区间[-1，1/2]上的最小值是-5
由（1）知，函数对称轴为x=1,∴函数在在闭区间[-1，1/2]上单调增
其最小值为f(-1)=-4≠-5
∴函数取最念悉小值-4时对应的x=-1, t=2(-1)-2=-4