Question

已知直线y=x-m与抛物线y^2=2x相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，O为坐标原点，求是

已知直线y=x-m与抛物线y^2=2x相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，O为坐标原点，求是否存在实数m使向量OA乘向量OB等于-1，若存在求出m，若不存在，请说明理由。

Answer 1

假设存在，两方程联立，用韦达定理求m

追答

向量OA=(x1，y1)
向量OB=(x2，y2)
则向量OA•OB=x1x2 + y1y2=-1
两方程联立：(x-m)²=2x
x² - 2mx + m² - 2x=0
x² - (2m+2)x + m²=0
根据韦达定理：x1x2=m²
x1 + x2=2m+2
则x1x2 + y1y2
=x1x2 + (x1-m)(x2-m)
=x1x2 + x1x2 - m(x1 + x2) + m²
=2x1x2 - m(2m+2) + m²
=2m² - 2m² - 2m + m²=-1
∴m² - 2m + 1=0
(m-1)²=0
∴m=1

Answer 2

1楼是对的