求下列曲线绕指定轴旋转一周所围成的旋转体的体积
采用定积分方法,先求出微体积,再做定积分。
1、绕x轴旋转时,微体积 dV = πy^2dx,或者:dV = π(sinx)^2dx,将dV在0到π之间对x做定积分,得到:V = ∫π(sinx)^2dx (在0到π区间积分) = ∫π(1-cos2x)/2dx (在0到π区间积分) = 0.5π^2。即,给定函数,绕x轴旋转得到的旋转体体积为 0.5π^2
2、绕y轴旋转时,微体积 dV = π(2x)ydx,或者:dV = 2πxsinxdx,将dV在0到π之间对x做定积分,得到:V = ∫ 2πxsinxdx(在0到π区间积分) =2π ∫xsinxdx (在0到π区间积分) = 2π^2。即,给定函数,绕y轴旋转得到的旋转体体积为 2π^2
扩展资料:
分类
1、不定积分(Indefinite integral)
即已知导数求原函数。若F′(x)=f(x),那么[F(x)+C]′=f(x).(C∈R C为常数).也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C的导数也是f(x)(C是任意常数)。
所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的。我们一律用F(x)+C代替,这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数,那么它就有无限多个原函数。
定积分 (definite integral)
定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形,特例是曲边三角形。
参考资料:定积分-百度百科
曲线y=x^2/3是一个以原点为顶点
y为对称轴
x>0时
单调递增
开口向下的二条抛物线
与y=x交点为(1,1)
绕y轴旋转体积:
y=x绕y轴体积(这是个圆锥体)
减去
y=x^2/3即x=y^3/2绕y轴旋转体积
符号不好打
下面用∫(0,1)
表示从0积到1
v1=1/3πr^2*h-∫(0,1)πr^2dy
=π/3-∫(0,1)πy^3dy
=π/3-πy^4/4(0,1)
=π/3-π/4
=π/12
绕x轴:
y=x^2/3即x=y^3/2绕x轴旋转体积
减去
y=x绕y轴体积(刚求出来是π/3)
v2=∫(0,1)πr^2dx-π/3
=∫(0,1)πx^4/3dx-π/3
=(3πx^7/3)/3(0,1)-π/3
=π-π/3
=2π/3