Question

如图,过原点O的直线与函数y=2^x的图像交于A,B点,分别过A,B作y轴的垂线分别交函数y=4^x的图像交于c,d点

求证：o,c,c三点共线

Answer 1

1 令A点(x1,2^x1)，B点(x2,2^x2) 令直线y=kx(直线要和y=2^x有2个交点，需满足：k>e) 则：k=2^x1/x1=2^x2/x2 令C点(x,y)，则：y=2^x1 即：4^x=2^x1 即：2^(2x)=2^x1 即：x=x1/2 令D点(a,b)，则：b=2^x2 即：4^a=2^x2 即：2^(2a)=2^x2 即：a=x2/2 故直线OC的斜率：k1=y/x=2*2^x1/x1=2k 直线OD的斜率：k2=b/a=2*2^x2/x2=2k 故直线OC与OD是同一条直线 即：O、C、D共线 2 AD∥y轴，即：D点横坐标a=A点横坐标x1 即：x2/2=x1，即：x1=2x2 直线AB的斜率：k=(2^x2-2^x1)/(x2-x1) =(2^(2x1)-2^x1)/x1 =(4^x1-2^x1)/x1 又：k=2^x1/x1 即：(4^x1-2^x1)/x1=2^x1/x1 即：4^x1-2^x1=2^x1 即：2*2^x1=4^x1 即：2^(x1+1)=2^(2x1) 即：2x1=x1+1 即：x1=1，y1=2^x1=2 故A点坐标(1,2)