Question

若f(x)在[a,b]上连续，a<x1<x2<…<xn<b,则在[x1,x2]上必有m,使f(x)

若f(x)在[a,b]上连续，a<x1<x2<…<xn<b,则在[x1,x2]上必有m,使f(x)=〔f（x1）+f（x2）+…f(xn)〕/n

Answer 1

可以考虑介值定理

答案如图所示

Answer 2

取F(x)=nf(x)-(f(x1)+f(x2)+……f(xn))
f(X)在(a.b)上连续
(1)
当f(x)为常数时 任意的c属于[x1.xn] 该结论都成立
(2)
当f(x)不为常数时

f(x)在[x1.xn]上连续，由闭区间上的连续函数闭有最值
存在 f(p)=m<f(x) f(q)=M>f(x)
F(p)=nf(p)-(f(x1)+f(x2)+……f(xn))=nm-(f(x1)+f(x2)+……f(xn))必定小于0
F(q)=nf(q)-(f(x1)+f(x2)+……f(xn))=nM-(f(x1)+f(x2)+……f(xn))必定大于0
由零点定理可知道
必定存在m 在 [x1.xn] 使 F(c)=0

综上所述 必定有m 使F(c)=0
即证明

Answer 3

个人愚见

Answer 4