Question

如图，AB是⊙O的直径，CB、CD分别切⊙O于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC；（1）求证：AE是⊙O

如图，AB是⊙O的直径，CB、CD分别切⊙O于B、D两点，点E在CD的延长线上，且CE=AE+BC；（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BE交DF于点M，求证：DM=MF．

Answer 1

证明：（1）连接OD，OE，
∵CB、CD分别切⊙O于B、D两点，
∴∠ODE=90°，CD=CE，
∵CE=AE+BC，CE=CD+DE，
∴AE=DE，
∵OD=OA，OE=OE，
∴△ODE≌△OAE（SSS），
∴∠OAE=∠ODE=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；

（2）∵DF⊥AB，AE⊥AB，BC⊥AB，
∴AE∥DF∥BC，
∴△BMF∽△BEA，
∴

MF

AE

＝

BF

BA

，
∴

CD

CE

＝

BF

BA

＝

CB

CE

，
∴

MF

AE

＝

CB

CE

∵△EDM∽△ECB，
∴

CB

CE

＝

DM

DE

，
∴

MF

AE

＝

DM

DE

，
∴DM=MF．