Question

已知函数f(x)＝x4+kx2+1x4+x2+1(k，x∈R)．则f（x）的最大值与最小值的乘积为k+23k+23

已知函数f(x)＝x4+kx2+1x4+x2+1(k，x∈R)．则f（x）的最大值与最小值的乘积为k+23k+23．

Answer 1

f(x)＝

x4+kx2+1

x4+x2+1

＝1+

(k?1)x2

x4+x2+1

，
当x=0时，f（x）=1，当k=1时，f（x）=1
当x≠0时，f（x）=1+

k?1

x2+ 1 x2 +1

，
∵x2+

1

x2

+1≥2+1＝3，
∴0＜

1

x2+ 1 x2 +1

≤

1

3

，
若k＞1，
则0＜

k?1

x2+ 1 x2 +1

≤

k?1

3

，
∴1＜1+

k?1

x2+ 1 x2 +1

≤

k+2

3

，
∴此时1≤f(x)≤

k+2

3

．
当k＜1时，

k?1

3

≤

k?1

x2+ 1 x2 +1

＜0，
∴

k+2

3

≤1+

k?1

x2+ 1 x2 +1

＜1，
此时

k+2

3

≤f(x)≤1．
即当k≥1时，f(x)max＝

k+2

3

，f(x)min＝1；
当k＜1时，f(x)min＝

k+2

3

，f(x)max＝1．
因此f_max（x）?f_min（x）=

k+2

3

．
故答案为：

k+2

3

．