Question

设函数f（x）=1xlnx（x＞0且x≠1）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知1xln2＞alnx对任意x∈（0，1）

设函数f（x）=1xlnx（x＞0且x≠1）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知1xln2＞alnx对任意x∈（0，1）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）函数的导数为f′(x)＝?

1+ln?x

(xln?x)2

，由f′(x)＞0，得0＜x＜

1

e

，由f′(x)＜0，得x＞

1

e

且x≠1，
即函数在（0，

1

e

）上单调递增，在（

1

e

，1）及（1，+∞）上单调递减．
（2）因为x∈（0，1）时，lnx＜0，由

1

x

ln2＞alnx得a＞

ln?2

xln?x

，即求函数y＝

ln?2

xln?x

的最大值即可．
由（1）知，函数y＝

ln?2

xln?x

在（0，

1

e

）上单调递增，在（

1

e

，1）上单调递减，
所以函数y＝

ln?2

xln?x

在（0，1）上，当x=

1

e

时取得最大值为-eln2，所以a＞-eln2，
即实数a的取值范围（-eln2，+∞）．