Question

已知曲线f（x）=x3-3x．（Ⅰ）求曲线在点P（1，-2）处的切线方程；（Ⅱ）求过点Q（2，-6）的曲线y=f（x）

已知曲线f（x）=x3-3x．（Ⅰ）求曲线在点P（1，-2）处的切线方程；（Ⅱ）求过点Q（2，-6）的曲线y=f（x）的切线方程．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=3x²-3…（2分）
则f'（1）=3×1²-3=0…（3分）
故曲线在点P处的切线方程为y+2=0×（x-1），即y=-2…（4分）
（Ⅱ）设过点Q的切线与曲线y=f（x）相切于点R(x0，

x

3 0

?3x0)…（5分）
由于曲线y=f（x）在点R处切线斜率为f′(x0)＝3

x

2 0

?3
由斜率公式可得

x 3 0 ?3x0?(?6)

x0?2

＝3

x

2 0

?3…（7分）
整理可得x₀=0或x₀=3…（9分）
故切点R分别为（0，0）和（3，18）…（10分）
所以过点Q的切线方程有两条：y=-3x和y=24x-54…（12分）