Question

求下列函数的定义域：（1） ；（2） 。

求下列函数的定义域：（1） ；（2） 。

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Answer 1

解：（1）由 ，得x＜4，且x≠3，故函数的定义域为 ； （2）由 ，即 ，得1＜x＜3且x≠2， 故函数的定义域为 。

Answer 2

我们可以从以下几个方面来认识f(x）。
第一：对代数式的认识。每一个代数式它的本质就是一个函数。像x2-1这个代数式，它就是一个函数，其自变量是x，对x的每一个值x2-1都有唯一的值与之对应，所以x2-1的所有值的集合就是这个函数的值域。
第二：对抽象数的认识，对于一个没有具体解析式的抽象函数，由于我们不知道它的具体对应法则也难以知道它的自变、定义域、值域，很难理解它的符号及其意义。
例如：f(x+1）的自变量是什么呢？它的对应法则还是f吗？f(x+1）的自变量是x,它的对应法则不是f。
我们不妨作如下假设，如果f(x)=x²+1，那么f(x+1）=(x+1）²+1,f(x+1）与（x+1）²+1这个代数式相等，即：（x+1）²+1的自变量就是f(x+1）的自变量。（x+1）²+1的对应法则是先把自变量加1再平方，然后再加上1。
再如，f(x）与f(t）是同一个函数吗？
只须列举一个特殊函数说明。
显然，f(x）与f(t）它们的对应法则是相同的，如果x的取值范围与 t的取值范围是相同的，则f(x）与f(t）就是相同的函数，否则，它们就是对应法则相同而定义域不同的函数了。
例：已知f(x+1）=x²+1 ，f(x+1）的定义域为[0，2]，求f(x）解析式和定义域
设x+1=t，则；x=t-1，那么用t表示自变量f的函数为：（也就是把x=t-1代入f(x+1）=x²+1中）
f(t)=f(x+1）=(t-1）²+1
=t²-2t+1+1
=t²-2t+2
所以，f(t)=t²-2t+2， 则f(x)=x²-2x+2
或者用这样的方法——更直观：
令 f(x+1）=x²+1 中的x=x-1，这样就更直观了，把x=x-1代入 f(x+1）=x²+1，那么：
f(x)=f[(x-1）+1]=(x-1）²+1
=x²-2x+1+1
=x²-2x+2
所以，f(x)=x²-2x+2
而f(x）与f(t）必须x与t的取值范围相同，才是相同的函数，
由t=x+1，f(x+1）的定义域为[0，2]，可知道：t∈[1，3]
f(x)=x²-2x+2的定义域为：x∈[1，3]
综上所述，f(x)=x²-2x+2（x∈[1，3]

定义域编辑
（高中函数定义）设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；
如果一个函数是具体的，它的定义域我们不难理解。但如果一个函数是抽象的，它的定义域就难以捉摸。
例如：y=f(x) 1≤x≤2与y=f(x+1）的定义域相同吗？值域相同吗？如果已知f(x）的定义域是x∈ [1,2]，f(x+1）的定义域是什么？
因为f(x）的定义域是 x ∈ [1,2]，即是说对1≤x≤2中的每一个数值f(x）都有函数值，超出这个范围内的任何一个数值f(x）都没有函数值。例如3就没有函数值，即f⑶就无意义。因此，当x+1的取值超出了[1，2]这个范围，f(x+1）也就没有了函数值，所以f(x+1）的定义域是1≤x+1≤2这个不等式的解集;所以解得0≤x≤1，此时x的定义域为x∈[0,1]（定义域总是指x能取的范围与经过括号内变换后的范围不同）。定义域发生了改变。但是值域还是相同的，因为f进行变换的范围没有改变。
我们还可以通过函数图象来进行理解，f(x+1) 相当于把f(x)向左平移了一个单位，而仍要与原函数结果相同，所以定义域也要向左平移一位。
看是不是同一个函数，既要看对应法则f（），也要看定义域是否相同。如果都相同，值域自然也相同，就能证明是同一个函数。（注意：如果只知值域、对应法则不能推出定义域 如f(x)=x^2 f(x)∈[1,4] x有多种可能）
（是不是统一函数只要看（）前面的字母是不是同一个，注意大小写也要一样才是同一函数）
题目中的“已知函数f(x）”中的x是一个抽象的概念，
x可以代表f（）括号中任意表达式，
如果他的定义域是（a,b）
那么，x+m和x-m的定义域（定义域都是指括号内x的取值范围）都不是（a,b）
就高中课程而言，函数定义域是说函数f（x）中，x的取值范围。
二、求函数的定义域：
求函数的定义域：
y=1/x 分母不等于0;
y=sprx 根号内大于等于0;
y=logaX 对数底数大于0且不等于1，真数大于0；

区别值域编辑
值域定义
函数中，因变量的取值范围叫做函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合
常用的求值域的方法
（1）化归法；（2）图象法（数形结合）
（3）函数单调性法，
（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等[1]

误区编辑
关于函数值域误区
定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。
“范围”与“值域”相同吗？
“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值），而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）。也就是说：“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。