Question

已知数列{a n }的各项均为正数，其前n项和为S n ，且满足2S n =a n 2 +a n （n∈N * ）．（Ⅰ）求a 1 ，

已知数列{a n }的各项均为正数，其前n项和为S n ，且满足2S n =a n 2 +a n （n∈N * ）．（Ⅰ）求a 1 ，a 2 ，a 3 ；（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅲ）若 b n =n( 1 2 ) a n ，求数列{b n }的前n项和T n ．

Answer 1

（Ⅰ）a 1 =1，a 2 =2，a 3 =3．（3分） （Ⅱ）2S n =a n 2 +a n ，①2S n-1 =a n-1 2 +a n-1 ，（n≥2）②（5分） ①-②即得（a n -a n-1 -1）（a n +a n-1 ）=0，（6分） 因为a n +a n-1 ≠0，所以a n -a n-1 =1，所以a n =n（n∈N * ）（8分） （Ⅲ）（Ⅲ）∵ b n =n( 1 2 ) n ， ∴ T n = 1 2 +2× ( 1 2 ) 2 +…+n× ( 1 2 ) n ， 1 2 T n = ( 1 2 ) 2 +2× ( 1 2 ) 3 +…+n× ( 1 2 ) n+1 ． 两式相减得， 1 2 T n  = 1 2 + ( 1 2 ) 2  +…+ ( 1 2 ) n -n× ( 1 2 ) n+1 =1- 2+n 2 n+1 ． 所以 T n =2- 2+n 2 n ．（13分）