Question

设A为n阶矩阵，|A|≠0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．若A有特征值λ，则（A*）2+E必有特征值______

设A为n阶矩阵，|A|≠0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．若A有特征值λ，则（A*）2+E必有特征值______．

Answer 1

假设λ是A的任意一个特征值，其对应的特征向量为x，
则由|A|≠0知λ≠0，且Ax=λx （x≠0），得：
A?1x＝

1

λ

x，
于是，|A|A?1x＝

|A|

λ

x，
而：|A|A^-1=A^*，
则：A*x＝

|A|

λ

x，
于是：(A*)2x＝(

|A|

λ

)2x，
有：[(A*)2+E]x＝[(

|A|

λ

)2+1]x，
从而：[（A^*）²+E]必有特征值(

|A|

λ

)2+1．